集合と命題４ - 美咲の教室

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以下は確認テストで使用した文章の一部である。

　下図はある全体集合Ｕに属する A,Bについてのベン図である。

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斜線部①を A,B の和集合といい、斜線部②を A,B の共通部分という。それぞれは $A\cup B,A\cap B$ と表せる。
　集合 A,B で A が B に完全に含まれるとき、A は B の部分集合であるという。図示すると下のようになる。

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上図で、右のように集合 A 意外の斜線部を集合 A の補集合といい、 $\overline{A}$ と表す。//

ちなみに $\cup$ と $\cap$ の読み方は以下のようになっている。

$\cup$ ：カップ。コップの形に似ていることから由来する。この記号の意味を汲み取って「or」、「または」とも読む。

$\cap$ ：キャップ。帽子の形に似ていることから由来する。この記号の意味を汲み取って「and」、「かつ」とも読む。

つまり $A\cup B$ はAまたはBのどちらかを満たす集合。 $A\cap B$ はAとBをどちらも同時に満たす集合。ということである。

さて、以前行ったゲームを振り返ると例えば「恋愛→キス」という流れがあった。この集合の関係を見てみよう。Aを「キスの種類の集合」、Bを「恋愛を表す行為の集合」とする。このとき、A,Bは以下のような関係になりそうである。

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ここで共通部分、斜線部分はA,Bを同時に満たすものであるから、「恋愛におけるキス」などが当てはまるはずである。対して和集合はA,Bを単純に合わせた部分すべてになるためキスの集合の中の「恋愛でない、コミュニケーションのキス」とか「遊びのキス」とかも含まれる。恋愛の方の集合でいうとキス以外の行為、「恋愛におけるハグ」などが考えられるであろう。

また、「りんご→果物」という流れもあった。りんごはすべて果物であるため（例外があったら申し訳ないが）果物の集合に完全に属しているはずである。よってりんごは果物の部分集合であると言える。さらに補集合を考えると「りんご以外の全ての果物」と考えることができるであろう。

このように複数の集合たちがどの程度含まれているかを考えることによりそれらの集合同士の関係性を分析することができる。この「含まれている」という関係を包含関係とよくいう。