集合と命題３ - 美咲の教室

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以下は確認テストで使用した文章の一部である。

　明確なルールに基づいた物の集まりを集合という。集合は要素と呼ばれる個々で構成される。図示すると以下のようになる。

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このとき、Aと $a$ の関係は $a\in A$ （a in Aと読む）と表せる。上図のような、集合の関係を表した図をベン図という。Uは全体集合といい、中にある集合、例えばここでいうＡがそもそもどこに属しているかを表す。ちなみにＵはUniverse(宇宙)からきている。集合を表記するとき

$A=\{a_1,a_2,a_3\}$ 「要素を一つひとつ書き並べる方法\\
$A=\{a_n|n=1,2,3\}$ 「{適当な文字で置いた、集合の要素|左側で置いた文字を説明する}」

の2つの方法がある。//

さて、前回行ったゲームで、やわらかいや汚い、甘いなどのグループがあった。これらのグループは人に依って意見が異なる。例えば少しビターなチョコレートなども、人に依っては甘いと答えるし、甘くはないと答える人もいるであろう、ということだ。このように明確ではない、つまり人に依っては正しいとは言えないルールで作られたグループは集合とは呼べないのである。

数学は明確なルールに基づいて考察ができる科目であるため、集合の考え方が利用できる。また、証明を成り立たせる考え方であるから、数学の根幹と言えるであろう。あとは「ここからここまでの範囲（集合）でこの理論は成り立つ」など、「根幹」であるため使うところは目立ちにくいが多々ある。

集合の表し方をもう少し詳しく見ていこう。例えば「1,3,4,7のをすべてを要素とする集合」は $\{1,3,4,7\}$ と表せる。これが一番目の要素を書き並べる方法だ。2番目は例えば「偶数の集合」など、要素が多すぎて書き並べることが難しい（できない）ときによく使われる。この場合偶数は「2で割り切れる0以上の整数」であることから、 $\{2n|n=0,1,2,\cdots\}$ とできる。左側で要素の代表例を挙げ、右側で説明し、全ての要素を表せばよいのだ。また、だいたいわかるところまで書き連ねれば「 $\cdots$ 」で省略してよい。