美咲の教室

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2階微分方程式って難しくね？ｗ

　2階微分方程式は2階差分方程式に比べると難しい。微分方程式は解くのに少し工夫が必要で、計算を後回しにする部分があるからだ。特に一般的な微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2}(t)+f(x)\frac{dx}{dt}(t)+g(t)x(t)=h(t)$ と比べ、具体的なもの（f(x)やg(x)などに具体的な関数をいれたもの）は、その微分とかを考えなければならないためか、よりややこしい。これは差分方程式では解消される。よってここでは微分方程式を差分方程式に置き換え、その後微分方程式の解に戻すことを考えたい。まずは差分方程式の解き方から確認しよう。

1). 2階差分方程式 $x_{n+2}+f_nx_{n+1}+g_nx_n=h_n$ の解き方

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2). 2階微分方程式 $\ddot{x}(t)+f(t)\dot{x}(t)+g(t)x(t)=h(t)$ の解き方

　続いて微分方程式の解き方を確認する。ここからは省略のため $\frac{dx}{dt}$ を $\dot{x}$ で表記する。

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　実は、こればかりは前述したような計算をしないという工夫をしたり、基本解が具体的にわかる場合に、まとめられないという厳しい点があり、ロンスキアンを利用しないと難しい。そこが私が2解微分方程式が難しいと考える点である。次のところでそこを詳しく説明しよう。

3). 微分方程式の難しい点

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では、次はいよいよ本番。微分方程式を差分方程式に置き換えて解を求めてみよう。

4). 微分方程式を差分化して解く

ちょっと待ってね☆